高三数学《一题多解_一题多变》试题及详解答案
篇一:数学一题多解手抄报
高三《一题多解 一题多变》题目
一题多解 一题多变（一）
原题：f(x)=
mx+8x+4
2
的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意mx2+8x+4≥0在R上恒成立
?m?0
且Δ?0，得m?4
变1：f(x)=log3
mx
2
+8x+4
的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意mx2+8x+4>0在R上恒成立
?m?0
且Δ
<0
，得m>4
3
变2：f(x)=log解：令t=
?
mx
2
(mx
2
+8x+4)
的值域为R，求m的取值范围 t能取到所有大于0的实数，
+8x+4，则要求
当m?0时，t能取到所有大于0的实数
?0时，m>0
当m且Δ≥0?0?m≤4
?0?m?4
变3：f(x)=log3
mx
2
+8x+n
2
x+1mx
2
的定义域为R,值域为[0,2]，求m,n的值
∈[1,9]，得（y-m）x-8x?y-n?0
2
解：由题意，令y=
y?m
+8x+n
2
x+1
时，Δ≥0和9时y2
?y-(m?n)y?mn-16?0-
2
? 1
-(m+n)y+mn-16=0
的两个根
? m=n=5 ? 当y=m
时，x=
n-m8
=0
?x?R，也符合题意
?m=n=5
一 题 多 解-
解不等式3<数学一题多解手抄报。
2x-3<5
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当2x-3≥0时，不等式可化为3<2x-3<5
?3<x<
（2）当2x-3<0时，不等式可化为3<-2x+3<5?-1<x<0 综上：解集为{x3<x<4或-1<x<0} 解法二：转化为不等式组求解
原不等式等价于
2x-3
>3且2x-3<5?3<x<4或
1<x<0
综上：解集为{x3<x<4或-1<x<0} 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于 3<2x-3<5或-5<2x
-3<-3，即3<x<4或-1<x<0
解集为{x3<x<4或-1<x<0} 解法四：利用绝对值的集合意义
原不等式可化为
3232
<x-
32
<
52
，不等式的几何意义时数轴上的点x到的距离大于
2
52
3
，且小于，由图得， 解集为{x3<x<4或-1<x<0}
一题多解 一题多变（二）
已知sn是等比数列的前n想项和，s3,s6,s9成等差数列，求证：
a2,a5,a8成等差数列
法一：用公式sn
=
a1(1一q)1一q
n
，
因为s3,s6,s9成等差数列，所以s3+s6=2s9且q≠1则
a1(1一q)1一q
3
+
a1(1一q)1一q
6
=
2a1(1一q)1一q
4
6
9
?q+q=2q(q≠1)?1+q=2q
36936
所以a
2
+a5=a1q+a1q=a1q(2q)=2a1q=2a8
7
所以
a2,a5,a8成等差数列｀ sn=
a1一anq1一q
法二用公式
，?s3+s6=2s9,∴
a1一a3q1一q
+
a1一a6q1一q
=
2(a1一a9q)1一q
则a3+a6=2a9?差数列｀
所以 a2,a5,a8成等a2q+a5q=2a8q?a2+a5=2a8，
证法三：（用公式s ?s
s9=s3(1+q+q
3
6
6
2n
=sn(1+q),s3n=sn(1+q+q
nn2n
)）
3
=s3+a4+a5+a6=s3+(a1+a2+a3)q=(1+q)s3
3
)?s3+s6=2s9?s3+s3(1+q)=2s3(1+q+q)
3
336
解得q
=一
12
（下略）
变题： 已知sin 解
sinα=
45
α=
45
且α是第二象限角，求tanα
α
2
：是数学一题多解手抄报。
α=一
35
第二
43
象
限角，
?cosα=一一sin
α=
45
,tanα=一
变1：sin
，求tanα
45
>0，所以α
解：sin
α=
是第一或第二象限角
35
,tanα=45
43
若是第一象限角，则cosα=
43
若是第二象限角，则cosα=一变2：已知sinα=m(m>0)求tanα 解：由条件0<m≤1，所以 当
0<m<1
,tanα=一
时，α是第一或第二象限角
一m,tanα=
2
若是第一象限角时cosα=
m一m
2
若是第二象限角cosα=一一m,tanα=一
2
m一m
2
当m=1时tanα不存在
变3：已知sin
α=m(m≤1)，求tanα
解：当m=1,一1时，tanα不存在 当m=0时，
tanα=0
m一m
2
当α时第一、第四象限角时，tanα=
当α是第二、第三象限角时，tan
α=一
m一m
2
一题多解 一题多变（三）
题目：求函数f(x)=
x+
1x(x?0)
的值域
方法一：判别式法 -- 设y=
x+
1x
，则x2
-yx+1=0，由Δ=y
2
-4≥0?y≥2
当y=2时，x2-2x+1=0?
f(x)=x+
1x
(x?0)有最小值
x=1， 因此当x=1时，
2，即值域为[2,+∞)
方法二：单调性法 先判断函数f(x)= 任取0? 当0? 当2?
x+
1x(x?0)
的单调性
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
x1?x2，则f(x1)-f(x2)=
x1?x2≤2时，即f(x1)?f(x2)，此时f(x)在(0,1]上时减函数 x1?x2时，f(x1)?f(x2)f(x)在(2,+∞)上是增函数
由f(x)在(0,1]上是减函数，f(x)在(1,+∞)上是增函数，知
x=1
时，f(x)有最小值2，即值域为[2,+∞)
方法三：配方法
f(x)=x+
1x
=(x-1x)+2
2
，当
x-
1x
=0时，x=1，此时
f(x)有最小值2，即值域为[2,+∞)
方法四：基本不等式法
小学数学“一题多解”的探究
篇二:数学一题多解手抄报
小学数学“一题多解”的探究
数学是一种应用非常广泛的学科,它将数与量、结构和空间关系在生活中具体应用和体现。“一花独放不是春，百花齐放春满园”。数学自身同样存在“百花齐放”的状态。数学中存在的“百花齐放”，指的是数学的多种表现形式，数学题中的一题多解便是其中之一。一题多解表现了思维的灵活性和广阔性，对沟通知识引起多路思维大有益处，它是激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性的有效方法，与此同时，它也是数学教学的一种重要方法，是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。六至十二岁的小学生新鲜感强，目的性不够明确，爱动、好问，注意力不够稳定，很难长时间把注意力集中到同一学习活动上；教师教给学生的是现成的结论、现成的论证、现成的说明，一切都是现成的，无需学生动手实践就可以将知识快速地储存于自己的大脑。因此，教师付出再多辛苦劳动的结果却是学生学习完许多知识便忘。此时巧妙地引入一题多解，更好地好地体现了以学生为本的主导思想，同时又减轻教师教学负担，转变教师教学模式。
例如，有这样一题“两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？”它的解法就有多种。
【分析 1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？
55×5=275（千米）
另一辆汽车行驶了多少千米？
45×5=225（千米）
甲、乙两地相距多少千米？
275+225=500（千米）
综合算式： 55×5+45×5
=275+225=500（千米）
【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法2】两车每小时共行驶多少千米？
55+45=100（千米）
甲、乙两地相距多少千米？
100×5=500（千米）
综合算式：（55+45）×5
=100×5
=500（千米）
【分析 3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。
【解法3】设甲乙两地相距x千米。
x÷5=55+45
x=100×5
x=500
【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列
方程解答。
【解法4】设甲乙两地相距x千米。
x-55×5=45×5
x-275=225
x=275+225
x=500
答：甲、乙两地相距500千米。
再如：“有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？”
【分析1】因为正方体有6个相等的面，所以每个面的面积是30÷6=5平方厘米.拼成一个大长方体要减少一个面的面积，同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面积.
【解法1】30-30÷6+30÷6×2
=30-5+10=35（平方厘米）.
或：30+30÷6×（2-1）
=30+5=35（平方厘米）.
【分析2】因为拼成大长方体后，表面积先减少一个面的面积，同时又增加两个面的面积，实际上增加了一个面的面积.
【解法2】 30+30÷6=30+5=35（平方厘米）.
【分析3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面积的几分之几，再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积.
【分析4】因为原来正方体的表面积是6个小正方形面积的和，拼成大长方体的表面积是7个小正方形面积的和，所以可先求每个小正方形的面积，再求7个小正方形的面积.
【解法4】30÷6×（6+1）
=30÷6×7=35（平方厘米）.
答：大长方体的表面积是35平方厘米.
由此可见，一题多解，从某方面而言，体现了数学思想。我国著名数学教育家姜伯驹院士曾多次强调，应该在教材和教学过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识和能力。可见，数学思想和数学方法是数学知识应用的根基和源泉。从案例提供的一题多种解法我们可以得知以下数学思想在小教学中的应用。
一、算术解法正是假设思想的体现，假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法.它对一些无从下手的题，先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，最后找到正确答案的一种思想方法。比如，按学生现有的知识，解此题较困难，在实际教学中，数学教师就可以引导学生从假设思想开始推断，得出结论。
二、代数解法体现了数学思想中的方程思想。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。方程思想在数学中的应用是十分广泛的。哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程。上面的案例就有很好的体现，当然，还有其它的数学思想值得平时教学实践中引导学生进行运用。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。这些数学思想几乎包摄了全部小学数学内容，符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验, 易于被他们理解和掌握，在小学数学教学中, 有机地渗透这些数学思想可以为进一步学数学打下较好的基础。
案例的一题多解，通过算术解法、和代数的方程解法得道答案，正是发散性思维的体
现，在平时，倘若学生遇到每一道习数学题，能够做到一图多问，一题多议；在条件和问题不变的情况下多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解答，从不同方面多解，对学生的益处不言而喻。无论答案对错，教师应积极地诱导并鼓励他们别出心裁地思考问题，大胆地提出与众不同的意见与质疑，独辟蹊径地解决问题，这样才能使学生思维从求异、发散向创新推进。
还有一点就是“一题多解”可以激发学生学习的兴趣。从学生的角度出发，兴趣是做好任何事情的前提，数学也不外乎于此。一题多解，可以提高学生对数学学习的兴趣。小学生具有挑战自我的特性，用于表现自我，在课堂上进行一题多解式探讨教学，使学生对学习数学更有兴趣，学生便会真正投入到数学的世界里。众所周知，兴趣是最好的老师。从教育心理学的角度而言，兴趣是感情的体现，是学生学习的内在因素。事实上，对于任何学生而言，只有感兴趣才能自觉地、主动地、竭尽全力去观察它、思考它、探究它，才能最大限度地发挥学生的主观能动性。只有打开学生学习数学的兴趣大门，让小学生学习数学经历一定的学习过程,才能在头脑中形成数学的知识和认知结构。
最后，“一题多解”可以减轻教师教学负担，转变教师教学模式。从教师的角度出发，“讲解——接受”的教学模式，恪守陈规，忽视了学生的课堂主体，教学方法单一，枯燥，容易使学生失去学习兴趣，如果将此案例的多种解法转变成教师一人的讲解，无论你怎样讲，怎样去解出此题，一节数学课下来，整个课堂就是老师一个人的舞台，学生像个听众，只是被动的接受。结果一堂课死气沉沉，学生感觉不到兴趣，从而昏昏欲睡，学生对教学难点的掌握可想而知，学习效果也同样可想而知。同样放手放给学生，教学效果、学习效果就有大不同。
《新课标》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。教学中应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题。鼓励学生解决问题策略的多样化，是因材施教，促进每一个学生充分发展的有效途径。”因此，课堂需要注入新的模式，从根本上去革新。教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。学生是课堂的真正主人。通过上面案例我们可以得出结论：教师在课堂上要给学生充足的实间去自主学习，合作交流，探究，解决问题。在一题多解方面，是学生通过课本知识从原有思维模式想新型思维模式的转型。同时“一题多解”，从某种程度上，减轻了数学教师的教学负担。将教师从课堂走到学生身边，将一味的大量讲解转变成学生主动参与，积极交流合作探究，教师只在适当的时候做以提示，不用教师领着讲解学习，学生自己会有能力去解决知识间的关系。
小学数学的“一题多解”，正是学生解决问题、学好数学的形式之一，它正如春天的“百花”一样，让数学变得绚丽多姿。
初中数学一题多变一题多解(六)
篇三:数学一题多解手抄报
一题多解，一题多变（六）
中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解
如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。 证法一
证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二
证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B
∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM
则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二
证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E
所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。 二、平行四边形一题多解
如图4
，
平行四边形
ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.
证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800
，故∠
3+∠4=900
，
表明∠COD=900，所以DF⊥CE。
证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。
证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,
则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。
证法四、如图7，作DG∥
CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从
而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE
四\一题多解、多变《四边形面积》
1. 如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影
都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。 解法一
将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。
图2
(a-c)(b-c) 解法二
重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）
2如图所示一个长为500dm宽为300dm的花坛要修两条过道，两条过道一样宽，花坛面积1340平方米，求过道宽。
方法一：将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。 解：1500-80x=1340
X=2 过道宽两米。 方法二：
解：（300-x）（500-x）=1340
X=2 过道宽两米
五\正方形一题多变
1已知正方形ABCD ， ?EOF=90`，O是对角线交点，点E F 在BC ，CD上 ，求证 EO=FO 证
明
四边形ABCD是正方形
BO=CF
k
图2
A
D
FC
?BOC=-90 ?OBE=?COF 又?EOF=90`
E
m
?BOE=?COF
变式一
△BOE≌△COF
EO=FO
已知正方形ABCD ， ?EOF=90` ，O是对角线交点，点E F 在BC ，CD边延长线上 ，求证 EO=FO 证
明
四边形ABCD是正方形
BO=CF ?BOC=-90
A
D
?OBE=?COF 又?BOE=?COF
变式二
?
EOF=90`
△BOE≌△COF
EO=FO
ME
CF
N
已知正方形ABCD，O 是AC任意一点 ?BOF=90`点E 在BC边上 ，求证 BO=EO 过O作ON， OM ?AB，DC
四边形ABCD是正方形
B
C
http://m.myl5520.com/jiaoanxiazai/122209.html